Как Эратосфен измерил Землю

Введение

Размер Земли сегодня читают со спутников и из моделей земного эллипсоида. В III веке до нашей эры его получил человек, у которого были гномон, расстояние между двумя египетскими городами и теорема о параллельных прямых. Эратосфен Киренский пришёл к выводу, что большой круг Земли составляет 250 000 стадиев. Позднейшие авторы передают и близкое число 252 000 стадиев [1].

Для математики важен ход мысли. Эратосфен нашёл, какую долю полной окружности составляет дуга между Сиеной и Александрией. Доля оказалась равной одной пятидесятой. Дальше сработала прямая пропорциональность: вся окружность в пятьдесят раз длиннее известной дуги. Угол он выразил частью круга. В градусах это 7,2°, потому что 360° : 50 = 7,2°. Письменный пересказ метода сохранил астроном Клеомед [1], [2].

В докладе измерение разобрано как геометрическая задача. Сначала выясняется, откуда взялись исходные числа. Затем строится чертёж: параллельные лучи, накрест лежащие углы, равные доли двух окружностей. После этого выполняются сами вычисления окружности и радиуса. В конце результат переводится в километры и сравнивается с современной длиной экватора, около 40 075 км [3]. Отдельно показано, почему точность сильно зависит от того, какой длиной стадия пользоваться.

Глава 1. Эратосфен и задача о размере Земли

Эратосфен родился в 276 году до нашей эры в Кирене, а умер в 194 году до нашей эры в Александрии. Он был математиком, астрономом, географом и поэтом. Около 235 года до нашей эры он возглавил Александрийскую библиотеку [1]. В его распоряжении оказались книги, приборы Мусейона и сведения о расстояниях по Египту. Для задачи о размере Земли это важнее любого отдельного инструмента: нужны и геометрическая теорема, и надёжное расстояние на местности.

Современники называли его «бетой» и «пентатлом», то есть пятиборцем: он занимался многими науками сразу [1]. По математике от него дошли описание решета простых чисел и письмо о мезолябии, приборе для отыскания средних пропорциональных при удвоении куба. Обе темы связаны с отношением величин. Измерение Земли устроено так же: ищется отношение дуги к целой окружности.

Представление о шарообразности Земли к этому времени уже было принято в греческой науке. Аристотель в IV веке до нашей эры ссылался на круглую тень Земли при лунном затмении и на то, что при поездке на юг меняется вид звёздного неба. Он сообщал, что некоторые математики оценивали окружность Земли в 400 000 стадиев, но их способ до нас не дошёл [3]. Расчёт Эратосфена — самый ранний, у которого сохранились и чертёж, и числа, и порядок рассуждения [2].

Исходное наблюдение связано с Сиеной, нынешним Асуаном. Город лежит близ северного тропика. В полдень летнего солнцестояния Солнце там проходит через зенит: вертикальный шест не отбрасывает тени. Клеомед пишет, что так бывает в целой полосе шириной около 300 стадиев [1]. Популярный образ того же факта — глубокий колодец: в этот час солнечный свет доходит до дна, потому что луч идёт вдоль оси колодца.

Александрия расположена севернее, примерно в 800 км к юго-востоку от Сиены [2]. В тот же полдень Солнце там не стоит в зените. Гномон, вертикальный стержень, даёт тень, и по ней можно узнать угол между лучом и вертикалью. Эратосфен принял, что оба города лежат на одном меридиане, а расстояние между ними равно 5 000 стадиев [1].

Его собственное сочинение об измерении Земли не сохранилось. Ход решения известен по трактату Клеомеда «О круговращении небесного свода». Угол на чаше солнечных часов в Александрии составил одну пятидесятую полного круга. Отсюда большой круг Земли равен 50 · 5 000 = 250 000 стадиев [1], [2].

Тем же умением измерять солнечный угол Эратосфен воспользовался для наклона земной оси. Угловое расстояние от экватора до тропика он принял равным 11/83 половины окружности, то есть 11/83 от 180° [1]. Деление даёт

180° : 83 ≈ 2,1687°,

2,1687° · 11 ≈ 23,86°.

Это приблизительно 23°51′. Рядом с измерением всей Земли такая дробь показывает общий приём: угол записывают отношением целых чисел, а уже потом, если нужно, переводят в градусы.

Глава 2. Геометрия солнечного луча и земной дуги

Чертёж опыта помещается в плоскости меридиана. Эта плоскость проходит через центр Земли, через Сиену и через Александрию. Сечение шара такой плоскостью есть большой круг: его длина и есть та окружность, которую требовалось найти. Параллель, то есть круг постоянной широты, для этой цели не годится. Его длина равна длине экватора, умноженной на косинус широты. Около 30° северной широты косинус примерно равен 0,87, поэтому параллель заметно короче большого круга. Меридиан выбран именно потому, что он большой круг.

Угол читали по скафису, солнечным часам в виде полукруглой чаши. Указатель расположен как радиус чаши. Конец тени отмечает на внутренней поверхности дугу. Отношение этой дуги к полной окружности чаши равно отношению центрального угла ко всему углу поворота вокруг центра [1].

Пусть радиус чаши равен r, а центральный угол, соответствующий тени, равен φ радиан. Длина дуги тени равна rφ. Длина всей окружности равна 2πr. Доля дуги равна

rφ : (2πr) = φ : (2π).

Радиус сокращается. На результат влияет только угол. Поэтому размер чаши можно выбирать по удобству отсчёта. При φ = 7,2° дуга составляет 7,2 : 360 = 0,02 всей окружности. Если радиус чаши равен 50 см, длина её полной окружности около 314 см, а дуга тени около 6,3 см. Такой отрезок уверенно измеряется линейкой. В этом практическая сила дроби 1/50: её ищут как отношение двух длин, без готовой таблицы тангенсов.

Ту же величину можно получить от плоской тени обычного шеста. Если высота гномона равна h, а длина тени равна t, то

tg α = t : h.

Для α = 7,2° тангенс приблизительно равен 0,126. При h = 1 м тень получается около 12,6 см. В Сиене в тот же час t = 0. Разница видна без сложных приборов. Скафис удобнее тем, что сразу даёт долю круга. Обычный шест даёт тангенс угла, и от тангенса ещё нужно вернуться к самому углу.

Геометрическое рассуждение опирается на несколько допущений [1], [4].

Дано.

1. Земля имеет форму шара.
2. Сиена и Александрия лежат на одном меридиане.
3. Сиена лежит на тропике: в полдень летнего солнцестояния луч там идёт по вертикали.
4. Лучи Солнца, приходящие к разным точкам Земли, параллельны, потому что Солнце очень далеко.
5. Угол между лучом и гномоном в Александрии равен 1/50 полного угла.
6. Длина дуги между городами равна 5 000 стадиев.

Требуется найти длину большого круга.

Обозначим центр Земли буквой O, Сиену буквой S, Александрию буквой A. Гномон в каждом городе перпендикулярен к касательной плоскости и поэтому лежит на радиусе. Продолжения гномонов встречаются в точке O.

В Сиене тени нет, значит луч совпадает с прямой OS. В Александрии луч образует с радиусом OA угол α. Лучи в двух городах параллельны. Прямая OA пересекает эту пару параллельных прямых: одну в точке A, другую по линии OS. Накрест лежащие углы при параллельных равны. Следовательно, угол между лучом и гномоном в Александрии равен центральному углу SOA [1], [4].

Дальше работает подобие дуг. У чаши и у земного меридиана один и тот же центральный угол, если измерять его долей полного оборота. У любой окружности дуга, опирающаяся на один и тот же угол, составляет одну и ту же долю своей окружности. На чаше эта доля равна 1/50. Значит, и дуга SA составляет 1/50 большого круга Земли.

Отсюда пропорция

длина дуги SA : длина большого круга = 1 : 50.

Если дугу обозначить L, а большой круг C, то

L : C = 1 : 50,

C = 50 · L.

Подстановка известного расстояния завершает доказательство:

C = 50 · 5 000 = 250 000 стадиев.

Проверка умножения: 50 · 5 000 = 50 · 5 · 1 000 = 250 · 1 000 = 250 000.

Смысл пропорции можно сказать словами. Угол между городами в пятьдесят раз меньше полного угла. Дуга большого круга растёт прямо пропорционально углу. Поэтому и длина дуги в пятьдесят раз меньше всей окружности.

Тот же вывод записывается формулой длины дуги, знакомой по курсу 10 класса. В радианах полный оборот равен 2π, а одна пятидесятая часть равна

φ = 2π : 50 = π : 25.

При π ≈ 3,14 получается φ ≈ 3,14 : 25 = 0,1256 радиана. Длина дуги равна Rφ. Отсюда радиус

R = L : φ = 5 000 : (π : 25) = 125 000 : π.

Окружность затем возвращается формулой C = 2πR. Оба пути, через пропорцию и через радианы, обязаны дать одно и то же число. Ниже это проверено вычислением.

На чертеже видно и то, чего метод не требует. Не нужна высота горы, обход всей планеты и представление о градусной сетке в современном виде. Градус как 1/360 круга — вавилонская мера. Эратосфен записал результат долей окружности: «одна пятидесятая», а не «7,2 градуса» [2]. Для пропорции такая запись даже удобнее. Множитель 50 читается прямо из дроби.

Глава 3. Вычисление окружности и радиуса

Исходные величины и итог удобно собрать в одну таблицу. По ней видно, какое число измерено, а какое получено умножением.

Таблица 1 — Данные расчёта Эратосфена

Источник: [1], [5], [6].

Перевод одной пятидесятой в градусы нужен для сравнения с современными картами:

360° : 50 = 7,2°.

Дробная часть 0,2° составляет 0,2 · 60′ = 12′. Значит, 7,2° = 7°12′. На этот угол вертикаль Александрии наклонена к полуденному лучу в день летнего солнцестояния, если принять рассказ Клеомеда буквально.

Радиус находится из C = 2πR. Возьмём школьное значение π = 3,14. Тогда 2π = 6,28 и

R = 250 000 : 6,28.

Деление выполняется так. Произведение 6,28 · 39 809 = 6,28 · 40 000 − 6,28 · 191. Сначала 6,28 · 40 000 = 251 200. Затем 6,28 · 200 = 1 256 и 6,28 · 9 = 56,52, поэтому 6,28 · 191 = 1 199,48. Разность 251 200 − 1 199,48 = 249 999,52. Это почти 250 000, остаток меньше одного стадия. Следовательно,

R ≈ 39 809 стадиев.

Диаметр вдвое больше:

D = 2R ≈ 79 618 стадиев.

Вторая формула, через радианы, обязана сойтись с первой:

R = 125 000 : 3,14.

Произведение 3,14 · 39 809 = 3 · 39 809 + 0,14 · 39 809 = 119 427 + 5 573,26 = 125 000,26. Снова получается около 125 000. Расхождение в долях стадия объясняется округлением π. Само рассуждение внутри себя согласовано: пропорция и формула длины окружности описывают один и тот же круг.

Число 250 000 стадиев — прямой итог дроби 1/50. У Плиния Старшего окружность Земли по Эратосфену равна уже 252 000 стадиев, или 31 500 римских миль [5]. Страбон тоже опирается на 252 000 стадиев. Он делит круг на 60 частей и получает 4 200 стадиев на одну такую часть: 252 000 : 60 = 4 200 [6]. Четыре шестидесятых, то есть дуга от экватора до тропика в этой грубой сетке, составляют 16 800 стадиев. Это 4 : 60 = 1 : 15 окружности, или 24°. Рядом с более точной оценкой наклона 23°51′ величина 24° выглядит как удобное географическое округление.

Почему к 250 000 прибавили 2 000 стадиев, источники прямо не объясняют. Из самих чисел видны два арифметических удобства. Во-первых, 252 000 делится на 60 без остатка, а 250 000 не делится: 250 000 : 60 = 4 166,666…. Во-вторых, 252 000 делится на 360:

252 000 : 360 = 700.

Один градус меридиана тогда равен ровно 700 стадиям. Для 250 000 стадиев на градус пришлось бы 694,444… стадия. Добавка составляет

2 000 : 250 000 = 0,008,

то есть 0,8 % исходной величины. На фоне того, что и угол, и расстояние взяты круглыми числами, такой сдвиг невелик.

Есть и другое объяснение, уже из истории астрономии. К. Карман и Дж. Эванс обратили внимание, что 250 000 стадиев получается при строго параллельных лучах, то есть при Солнце, мысленно отнесённом бесконечно далеко. Число 252 000 стадиев согласуется с конечным расстоянием до Солнца, которое античные авторы приписывают самому Эратосфену. Тогда первое число — оценка при бесконечно далёком Солнце, а второе — близкая верхняя оценка при конечном расстоянии [7]. Для школьного разбора важно, что оба числа описывают одну и ту же дугу в 5 000 стадиев. Расходятся они только в том, считать ли множитель ровно равным 50 или чуть иным из-за модели Солнца и удобства деления.

Полезно заранее перевести 252 000 стадиев в радиус тем же способом:

R = 252 000 : 6,28 ≈ 40 127 стадиев.

Проверка: 6,28 · 40 000 = 251 200, остаток 800, а 800 : 6,28 ≈ 127. Диаметр около 80 254 стадиев. Пока длина стадия неизвестна, эти числа остаются «в стадиевой системе». Сравнивать их с километрами можно только после договора о том, сколько метров содержит один стадий.

Глава 4. Допущения, погрешности и современная проверка

Геометрический шаг метода прозрачен. Спор историков начинается на переводе стадия в современные единицы. Короткий стадий, часто принимаемый около 157,5 м, и более длинный, около 185 м, дают заметно разные размеры Земли [1], [2]. Второй масштаб связан со свидетельством Плиния: 252 000 стадиев равны 31 500 римским милям, значит, в миле 8 стадиев [5]. При римской миле около 1,48 км

1,48 км : 8 = 0,185 км = 185 м.

Энциклопедия оценивает возможное отклонение результата Эратосфена от принятой ныне окружности примерно от половины процента до 17 процентов. Точная ошибка остаётся неопределённой именно из-за стадия [2]. Современное значение экваториальной окружности — около 40 075 км [3].

Таблица 2 — Окружность Земли при двух длинах стадия

Источник: [2], [3], [5].

Проверка клеток таблицы — обычное умножение.

157,5 · 250 000 = 39 375 000 м = 39 375 км.

157,5 · 252 000 = 39 690 000 м = 39 690 км.

185 · 250 000 = 46 250 000 м = 46 250 км.

185 · 252 000 = 46 620 000 м = 46 620 км.

Относительное отклонение для короткого стадия:

(40 075 − 39 690) : 40 075 = 385 : 40 075 ≈ 0,0096, то есть около 1 %.

Для длинного стадия:

(46 620 − 40 075) : 40 075 = 6 545 : 40 075 ≈ 0,163, то есть около 16 %.

Обе строки лежат в том коридоре, о котором говорит энциклопедия. Короткий стадий даёт почти современный размер. Длинный увеличивает Землю примерно на одну шестую. Поэтому фраза «Эратосфен ошибся меньше чем на процент» верна только вместе с выбором стадия около 157–160 м. Сам текст Клеомеда этого выбора не содержит.

Независимая проверка получается из современной окружности. Одна пятидесятая от 40 075 км равна

40 075 : 50 = 801,5 км.

Энциклопедия как раз оценивает удаление Сиены от Александрии примерно в 800 км [2]. Если 5 000 стадиев приравнять к 800 км, средняя длина стадия равна

800 км : 5 000 = 0,16 км = 160 м.

Это близко к 157,5 м и далеко от 185 м. Арифметика здесь такая: метод точен настолько, насколько 5 000 его стадиев совпадают с реальной меридианной дугой около 800 км.

Остальные допущения тоже имеют свою величину ошибки. Их полезно сравнить по порядку, а не списком общих оговорок.

Общий меридиан. Асуан лежит к юго-востоку от Александрии, а не строго на юге [2]. Дорога по долине Нила длиннее чистой дуги по меридиану. Если в расчёт попала длина пути, а не длина меридианной дуги, произведение 50 · L получается больше истинной окружности. Ошибка расстояния переходит в ошибку окружности с тем же знаком, потому что C = 50L и множитель 50 считается точным.

Угол 1/50. Разность широт Александрии и Асуана близка к 7,1°, а 7,2° — это принятая Эратосфеном одна пятидесятая. Относительная разница углов около одного процента. Поскольку C = L : (доля), завышение угла занижает окружность примерно на тот же процент. Ошибка угла и ошибка «слишком длинной дороги» действуют в разные стороны и могут частично погасить друг друга. Насколько именно они погасли, по сохранившемуся пересказу уже не восстановить: оба исходных числа круглые.

Сиена и тропик. Клеомед говорит о полосе около 300 стадиев, где тени в полдень нет [1]. При стадии около 160 м это примерно 48 км. Город был принят за точку на тропике, хотя речь шла о целой области. Если в Сиене луч всё же чуть отклонён от вертикали, измерять нужно разность зенитных расстояний двух городов. Эта разность равна разности широт. Предположение, что в Сиене угол строго нулевой, вносит в центральный угол небольшую добавку. Судя по близости 7,2° к разности широт, добавка осталась внутри округления до 1/50.

Параллельность лучей. Расстояние от Земли до Солнца около 150 000 000 км, а дуга между городами около 800 км. Угол, под которым эта дуга видна с Солнца, в радианах примерно равен отношению

800 : 150 000 000 ≈ 0,0000053 радиана.

В градусах это около 0,0003°, или примерно одна угловая секунда. Рядом с углом 7,2° такая поправка ничтожна: относительный вклад порядка 0,004 %. Для школьного гномона и для античной чаши лучи действительно можно считать параллельными. Именно поэтому модель «Солнце бесконечно далеко» даёт почти тот же результат, что и модель с очень далёким, но конечным Солнцем. Расхождение 250 000 и 252 000 стадиев, всего 0,8 %, по величине гораздо больше этой крошечной угловой поправки. Его естественно связывать с округлением и с удобством счёта, а гипотезу о двух оценках рассматривать как дополнительное историческое объяснение [7].

Форма Земли. В задаче Земля — шар, и для III века до нашей эры это сильная и верная модель. Реальная планета немного сжата у полюсов, поэтому меридианный обход чуть короче экваториального. Это различие составляет доли процента и теряется на фоне неопределённости стадия, где речь идёт уже о процентах и о десятках процентов.

Округление исходных данных. И 5 000, и 1/50 выглядят как числа с одной-двумя значащими цифрами. Произведение 250 000 не стоит читать как измерение с точностью до одного стадия. Если расстояние известно с точностью до сотни стадиев, окружность после умножения на 50 неопределённа уже на 5 000 стадиев. В таких задачах относительная погрешность произведения равна относительной погрешности множителя, когда второй множитель задан точно. Здесь второй множитель тоже округлён, поэтому погрешности складываются по величине.

Из этого разбора получается спокойная оценка. Чертёж верен. Равенство накрест лежащих углов применено по делу. Пропорция посчитана без арифметической ошибки. Главная неопределённость сидит в единице длины и в том, что 5 000 стадиев — маршрутная оценка, а не современная геодезическая дуга. При стадии около 160 м итог оказывается в пределах примерно одного процента от 40 075 км. При стадии 185 м итог больше примерно на 16 %. Оба перевода честно следуют из античных чисел. Выбор между ними текст Клеомеда сам не делает.

Тот же чертёж объясняет, почему опыт трудно повторить во дворе одной школы и легко понять на карте. Один градус большого круга — это примерно

40 075 км : 360 ≈ 111 км.

Угол 0,1° отвечает примерно 11 км по меридиану. Школьный транспортир с ценой деления 1° замечает сдвиг только на сотню километров. Эратосфену нужны были именно два далёких города и чаша, на которой 7,2° превращаются в заметную дугу. Идея опыта при этом полностью школьная. В один и тот же полдень измеряют зенитное расстояние Солнца в двух точках одного меридиана, вычитают углы, получают центральный угол, а длину дуги между точками делят на долю полного угла.

Заключение

Эратосфен измерил Землю как геометр. Он нашёл центральный угол между Сиеной и Александрией по тени гномона, пользуясь параллельностью солнечных лучей и равенством накрест лежащих углов. Угол составил 1/50 окружности, или 7,2°. Расстояние между городами он принял равным 5 000 стадиев. Пропорция умножила эту дугу на 50 и дала 250 000 стадиев для большого круга. Через формулу C = 2πR при π = 3,14 тому же результату отвечает радиус около 39 809 стадиев.

Число 252 000 стадиев у Плиния и Страбона отличается на 0,8 %. Оно делится на 60 и на 360 без остатка: один градус меридиана тогда равен 700 стадиям, а одна шестидесятая круга — 4 200 стадиям. Рядом существует и историческая гипотеза, что два числа отвечают двум моделям удаления Солнца.

Перевод в километры зависит от длины стадия. При 157,5 м окружность 252 000 стадиев равна 39 690 км, что примерно на 1 % меньше современных 40 075 км. При 185 м, которые следуют из римской мили Плиния, получается 46 620 км, примерно на 16 % больше. Одна пятидесятая современной окружности — около 800 км, и таким же порядком оценивают расстояние между городами. Стадий около 160 м согласует эти величины между собой.

Допущения о шаре, об общем меридиане и о нулевой тени в Сиене вносят погрешности порядка процента или меньше. Непараллельность лучей из-за конечного расстояния до Солнца для дуги в 800 км даёт лишь около одной угловой секунды, и в опыте с гномоном её можно не учитывать. Решающей остаётся единица длины.

Для курса математики 10 класса в этом измерении собраны сразу несколько тем: длина дуги, радианная мера, пропорция, накрест лежащие углы, относительная погрешность и внимательное обращение с единицами. Вывод, который стоит сохранить, такой. Размер шара определяется по одной дуге, если известен её центральный угол. Эратосфен получил этот угол из солнечной тени и тем самым превратил наблюдение полдня в задачу на окружность.

Список источников

1. Эратосфен [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Эратосфен (дата обращения: 11.10.2026).
2. Eratosthenes [Электронный ресурс]. URL: https://kids.britannica.com/scholars/article/Eratosthenes/32863 (дата обращения: 11.10.2026).
3. Astronomy. Ancient Greece [Электронный ресурс]. URL: https://www.britannica.com/science/astronomy/Ancient-Greece (дата обращения: 11.10.2026).
4. Eratosthenes and the Mystery of the Stades. Eratosthenes' Argument [Электронный ресурс]. URL: https://old.maa.org/press/periodicals/convergence/eratosthenes-and-the-mystery-of-the-stades-eratosthenes-argument (дата обращения: 11.10.2026).
5. Плиний Старший. Естественная история. Книга II, глава 108 [Электронный ресурс]. URL: https://ancientrome.ru/antlitr/t.htm?a=1327002108 (дата обращения: 11.10.2026).
6. Strabo. Geography. Book II, chapter 5, section 7 [Электронный ресурс]. URL: https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:1999.01.0239:book=2:chapter=5:section=7 (дата обращения: 11.10.2026).
7. Carman C. C., Evans J. The Two Earths of Eratosthenes [Электронный ресурс] // Isis. — 2015. — Vol. 106, № 1. URL: https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/681034 (дата обращения: 11.10.2026).