Движение тел вокруг гравитационного центра. Солнечная система и Галактика

Введение

Каждый день мы видим, как брошенный предмет падает на Землю. Ночь за ночью Луна меняет положение среди звёзд, а в течение года меняется и вид звёздного неба. За этими привычными картинами стоит один и тот же физический закон: любые два тела с массой притягиваются друг к другу. Если у тела есть скорость, направленная поперёк силы притяжения, падение превращается в обращение вокруг общего центра масс. Так движется мяч в мысленном опыте Ньютона, так Луна движется вокруг Земли, планеты вокруг Солнца, а само Солнце вместе с планетами вокруг центра нашей Галактики.

В курсе физики 9 класса это движение связывают с законом всемирного тяготения, с криволинейным движением и с космическими скоростями [1]. Тема доклада шире одного параграфа учебника. Сначала нужно понять, при каком условии притяжение удерживает тело на замкнутой орбите. Затем те же правила применяются к Солнечной системе, где расстояния, периоды и скорости планет измерены очень точно. После этого взгляд переносится на Галактику. Там Солнце уже само становится одним из обращающихся тел, а роль центра играет вся масса, собранная внутри его орбиты.

Цель работы — объяснить, как тяготение задаёт движение тел вокруг гравитационного центра, и проследить эту закономерность от спутника Земли до орбиты Солнца в Млечном Пути. Для этого разбираются закон Ньютона и законы Кеплера, сравниваются орбиты восьми планет, а затем описываются строение Галактики, галактический год и причина, по которой далёкие звёзды обращаются быстрее, чем можно ожидать по одному только видимому веществу.

Практический смысл темы виден рядом с нами. Смена дня и ночи связана с вращением Земли, смена времён года — с её орбитой и наклоном оси, календарный год — с периодом обращения вокруг Солнца. Прогноз затмений, полёт искусственных спутников, спутниковая связь и карты погоды опираются на те же формулы, которые описывают Луну и планеты. Понимание орбитального движения позволяет отличать настоящую физическую причину от внешней похожести: и камень, и Луна, и Солнце подчиняются тяготению, только масштабы скоростей и расстояний различаются в огромное число раз.

Глава 1. Гравитация и законы орбитального движения

От кругов вокруг Земли к силе, действующей везде

Долгое время казалось естественным считать Землю неподвижным центром мира. В такой картине Солнце, Луна, планеты и звёзды обращаются вокруг наблюдателя. Планеты при этом выписывают на небе петли: какое-то время смещаются среди звёзд в одну сторону, затем замедляются и некоторое время идут назад. Чтобы сохранить Землю в центре и при этом описать петли, строили сложные сочетания кругов. Настоящий перелом произошёл, когда центром планетных движений признали Солнце. Датский астроном Тихо Браге накопил точные для своего времени положения планет. Иоганн Кеплер по этим наблюдениям нашёл три закона их движения. Исаак Ньютон показал, что за законами Кеплера стоит одна сила, и в 1687 году опубликовал закон всемирного тяготения [2].

Смысл открытия удобно сформулировать так. Падение яблока и удержание Луны на орбите — проявления одного взаимодействия. Сила направлена вдоль линии, соединяющей тела, и быстро ослабевает с расстоянием. Поэтому далёкая Луна получает от Земли гораздо меньшее ускорение, чем яблоко в саду, хотя притягивает их одна и та же Земля.

Закон всемирного тяготения

Закон читается следующим образом: две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними [1]. В виде формулы

F = G · m₁ · m₂ / r².

Здесь F — модуль каждой из двух сил, m₁ и m₂ — массы, r — расстояние, G — гравитационная постоянная. Силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны: с какой силой Земля тянет Луну, с такой же по модулю силой Луна тянет Землю. Это прямое следствие третьего закона Ньютона.

Постоянная G показывает, с какой силой притягиваются две массы по 1 кг на расстоянии 1 м. В школьных расчётах принимают

G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н · м² / кг².

Более точное значение близко к 6,674 · 10⁻¹¹ Н · м² / кг² [2]. Ньютон ещё не мог измерить G в лаборатории: притяжение обычных предметов слишком слабо по сравнению с притяжением Земли. Опыт, в котором силу между земными массами измерили на крутильных весах, поставил Генри Кавендиш в конце XVIII века, через сто с лишним лет после «Математических начал» Ньютона [2].

Формулой для точек можно пользоваться и для реальных тел в трёх важных случаях. Расстояние много больше размеров тел. Оба тела однородны и имеют форму шара: тогда r берётся между их центрами, как будто вся масса собрана в центре. Одно шаровое тело намного больше другого, и меньшее находится снаружи. Именно поэтому для спутника Земли в закон подставляют расстояние до центра Земли, а для планеты — расстояние до центра Солнца.

Из формулы сразу виден характер зависимости. Если расстояние увеличить в 2 раза, сила уменьшится в 4 раза. Если увеличить в 10 раз, сила станет меньше в 100 раз. Масса входит в числитель: при прочих равных более массивное тело и притягивает сильнее, и само испытывает ту же по модулю силу. Ускорение при этом получается разным. По второму закону Ньютона a = F / m, поэтому в поле одной и той же Земли лёгкое и тяжёлое тела получают одинаковое ускорение свободного падения, если пренебречь сопротивлением воздуха. На поверхности Земли это ускорение около 9,8 м/с². Его обозначают g.

Ускорение свободного падения на расстоянии r от центра шара массы M равно

g(r) = G · M / r².

На поверхности g(R) = G · M / R², где R — радиус шара. Отсюда масса Земли выражается через известные g и R. Для школьной оценки R ≈ 6400 км = 6,4 · 10⁶ м:

M = g · R² / G ≈ 9,8 · (6,4 · 10⁶)² / 6,67 · 10⁻¹¹ ≈ 6,0 · 10²⁴ кг.

Порядок величины совпадает с современными измерениями: масса Земли близка к 5,97 · 10²⁴ кг. Небольшое различие связано с тем, что Земля сплюснута у полюсов, вращается, и g зависит от широты.

Почему скорость превращает падение в орбиту

Сила тяготения сама по себе тянет тело к центру. Если отпустить камень без начальной скорости, он полетит по радиусу вниз. Орбита возникает тогда, когда есть ещё и скорость поперёк радиуса.

Ньютон пояснил это опытом с пушкой на высокой горе. Ядро, вылетевшее горизонтально, падает по параболе и тем дальше улетает, чем больше начальная скорость. Земля при этом круглая. При достаточной скорости поверхность «уходит» из-под ядра с той же быстротой, с какой ядро снижается к центру. Ядро всё время падает и всё время промахивается мимо Земли. Получается замкнутая орбита.

Для движения по окружности нужно центростремительное ускорение

a = v² / r,

направленное к центру. Его и сообщает тяготение:

G · M · m / r² = m · v² / r.

Масса спутника m сокращается. Скорость круговой орбиты

v = √(G · M / r) = √(g(r) · r).

Чем больше радиус, тем меньше требуемая скорость. Это важный и на первый взгляд неожиданный вывод: далёкий спутник движется медленнее близкого. Период при этом всё равно больше, потому что путь длиннее, а скорость меньше. Период обращения по окружности

T = 2πr / v = 2π √(r³ / (G · M)).

В формуле видна связь периода с радиусом: T² пропорционально r³. Это и есть третий закон Кеплера для частного случая окружности.

Орбита устойчива в том смысле, что при небольшом изменении скорости окружность превращается в эллипс, близкий к прежней окружности. Замкнутой орбита остаётся, пока скорость меньше скорости ухода из данного места. Если скорость направить не строго по касательной, центр окружности сместится, и траекторией снова будет эллипс с притягивающим телом в фокусе.

Три закона Кеплера

Кеплер сформулировал законы раньше, чем Ньютон объяснил их силой. Сегодня их удобно читать уже вместе с законом тяготения [1], [2].

Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Эллипс — вытянутая замкнутая кривая. У него два фокуса. Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух фокусов постоянна. Окружность — частный эллипс, у которого фокусы совпали с центром. Чем сильнее вытянут эллипс, тем больше его эксцентриситет. Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, дальняя — афелием. Большая полуось a — это среднее из расстояний в перигелии и афелии, именно она входит в третий закон.

Второй закон: радиус, проведённый от Солнца к планете, за равные промежутки времени заметает равные площади. Вблизи Солнца отрезок короче, поэтому, чтобы площадь осталась прежней, планета проходит дугу быстрее. Вдали от Солнца она движется медленнее. Так ведут себя кометы: у Солнца проносятся быстро, а большую часть периода ползут по далёкой части орбиты. С точки зрения механики второй закон выражает сохранение момента импульса. Сила тяготения направлена вдоль радиуса и не создаёт момента относительно центра, поэтому величина m · v · r для круговой орбиты и соответствующая величина для эллипса сохраняются.

Третий закон: квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит,

T₁² / T₂² = a₁³ / a₂³.

Для обращения вокруг одного и того же центра в правой части можно записать постоянную самого этого центра:

T² = 4π² · a³ / (G · M).

Постоянная одна и та же для всех планет Солнечной системы, потому что в центре одна и та же масса Солнца. У спутников Юпитера периоды и радиусы связаны уже другой постоянной: в формулу входит масса Юпитера. Поэтому третий закон позволяет взвешивать небесные тела. Измерив размер орбиты спутника и время оборота, находят массу того тела, вокруг которого он обращается.

Космические скорости

Первой космической скоростью называют наименьшую горизонтальную скорость, при которой тело у поверхности планеты выходит на круговую орбиту. Для Земли, если принять g = 9,8 м/с² и R = 6,4 · 10⁶ м,

v₁ = √(gR) = √(9,8 · 6,4 · 10⁶) ≈ √(6,3 · 10⁷) ≈ 7,9 · 10³ м/с = 7,9 км/с.

Атмосфера мешает реализовать такую орбиту у самой поверхности: спутник сгорел бы и затормозился. Реальные орбиты проходят выше плотных слоёв воздуха, поэтому рабочая скорость немного меньше 7,9 км/с, как и требует формула v = √(G · M / r) при r больше R.

Вторая космическая скорость — это скорость, которой достаточно, чтобы уйти от планеты сколь угодно далеко, если не учитывать притяжение других тел. Она в √2 раз больше первой:

v₂ = √(2gR) ≈ 11,2 км/с.

При скорости между v₁ и v₂ траектория относительно Земли — эллипс. При скорости v₂ эллипс размыкается в параболу. При ещё большей скорости получается гипербола, и тело уходит, сохраняя остаточную скорость. Чтобы покинуть и Солнечную систему, стартуя с Земли в сторону её орбитального движения, нужна третья космическая скорость около 16,7 км/с относительно Земли. Она больше второй, потому что телу предстоит преодолеть и земное, и солнечное притяжение, но меньше, чем скорость освобождения от Солнца «с места»: Земля уже несётся вокруг Солнца со скоростью около 30 км/с, и этот запас учитывают при запуске.

Общий центр масс

В строгом смысле тело обращается вокруг общего центра масс системы. Если одно тело намного массивнее другого, центр масс почти совпадает с центром тяжёлого тела, и в быту говорят, что Луна обращается вокруг Земли, а Земля вокруг Солнца. Если массы сравнимы, оба тела заметно движутся вокруг точки, лежащей между ними. Две одинаковые звёзды в двойной системе обходят общий центр так, что он всё время остаётся посередине. Юпитер настолько массивен по сравнению с остальными планетами, что центр масс пары Солнце — Юпитер смещён от геометрического центра Солнца в сторону поверхности Солнца. Планеты и Солнце вместе обращаются вокруг центра масс всей Солнечной системы. Для большинства расчётов 9 класса Солнце можно считать неподвижным центром: в нём сосредоточена подавляющая доля массы системы, и смещение центра масс мало по сравнению с радиусами планетных орбит.

Невесомость и вес на орбите

На орбите тяжесть сохраняется. Именно притяжение Земли искривляет путь спутника и не даёт ему улететь по прямой. Вес при этом может быть равен нулю. Весом называют силу, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. В кабине спутника опора падает вместе с космонавтом с одним и тем же ускорением, давление на пол исчезает, и наступает невесомость. Предмет, выпущенный из руки, висит рядом, потому что и он, и рука, и станция летят по одной орбите.

Похожее краткое состояние бывает в падающем лифте или в самолёте, летящем по специальной дуге. Орбитальная невесомость длится всё время полёта. Она связана с движением, а не с «отключением» тяготения. На высоте нескольких сотен километров g уменьшается по сравнению с поверхностью лишь на доли своей величины, поскольку расстояние до центра Земли увеличивается ненамного: радиус Земли около 6400 км, а высота орбиты станции гораздо меньше этого радиуса.

Глава 2. Солнечная система как система тел вокруг Солнца

Что входит в систему

Солнечная система — это Солнце и все тела, которые удерживаются его тяготением: планеты, их спутники, карликовые планеты, астероиды, кометы и множество мелких обломков. Движение каждого из них в первом приближении есть движение вокруг Солнца либо вокруг планеты, которая сама движется вокруг Солнца. Средние расстояния, периоды и орбитальные скорости восьми планет приведены в таблице 1 по планетной сводке NASA [3].

Таблица 1 — Средние орбиты планет Солнечной системы

Источник: [3].

Расстояние в таблице — большая полуось, то есть средний радиус эллипса. Скорость указана средняя. Период дан в земных сутках и означает время одного оборота вокруг Солнца.

К планетам относят восемь тел. Первые четыре — Меркурий, Венера, Земля и Марс — имеют твёрдую поверхность и сравнительно малы. Юпитер и Сатурн — газовые гиганты, Уран и Нептун — ледяные гиганты: у них нет привычной твёрдой поверхности, наблюдатель видит облачные слои [4]. Отдельно выделены пять карликовых планет: Церера, Плутон, Хаумеа, Макемаке и Эрида [4]. Церера обращается в поясе астероидов между Марсом и Юпитером. Плутон и более далёкие карликовые планеты проводят оборот далеко за Нептуном. У Плутона среднее расстояние около 5,9 млрд км, период около 90 560 земных суток, то есть примерно 248 земных лет, а средняя скорость около 4,7 км/с [3].

Как расстояния согласуются с законами Кеплера

Земную орбиту принимают за единицу длины в Солнечной системе. Эта единица называется астрономической и равна примерно 149,6 млн км [3]. Нептун находится в 4515 / 149,6 ≈ 30,2 раза дальше Земли. По третьему закону период должен вырасти в 30,2 в степени 3/2 раза. Квадратный корень из 30,2 примерно равен 5,5, а 30,2 · 5,5 ≈ 166. Наблюдаемый период Нептуна 59 800 / 365,2 ≈ 164 земных года. Совпадение для школьной оценки очень хорошее: небольшая разница связана с округлением и с тем, что орбиты слегка эллиптические.

Скорости ведут себя так, как требует формула v = √(G · M / r). Земля движется со скоростью 29,8 км/с, Нептун — 5,4 км/с. Отношение скоростей 29,8 / 5,4 ≈ 5,5, и это как раз √30. Меркурий, самая близкая планета, самый быстрый: 47,4 км/с и всего 88 земных суток на оборот. Сатурн за один меркурианский год едва смещается по своей огромной орбите.

Сила притяжения Солнца падает быстрее, чем скорость. На орбите Нептуна расстояние больше земного примерно в 30 раз, значит, сила на единицу массы меньше примерно в 900 раз. Скорость меньше только в 5,5 раза. Планета далеко от Солнца тянется слабее и движется медленнее, а год у неё длится многие земные десятилетия.

Орбиты планет близки к окружностям и лежат почти в одной плоскости, но различия есть, и они поучительны. Эксцентриситет орбиты Венеры всего 0,007, у Земли 0,017, а у Меркурия 0,206 [3]. Поэтому Меркурий в перигелии подходит к Солнцу на 46,0 млн км, а в афелии уходит на 69,8 млн км. Земля меняет расстояние слабее: от 147,1 до 152,1 млн км [3]. Ближе всего к Солнцу Земля бывает в начале января, дальше всего — в начале июля. Времена года создаёт наклон земной оси к плоскости орбиты, около 23,4°, а изменение расстояния лишь немного меняет количество получаемой энергии [3]. Когда в Северном полушарии зима, Земля как раз ближе к Солнцу.

Наклон орбиты Меркурия к земной составляет около 7°, у Венеры около 3,4°, у остальных больших планет ещё меньше [3]. Общая плоскость и общее направление обращения — след того, как система сформировалась из вращающегося газопылевого диска. Все восемь планет идут вокруг Солнца в одну сторону. Вращение вокруг собственной оси устроено разнообразнее: у Венеры оно обратное по отношению к большинству планет, а ось Урана наклонена к орбите примерно на 98° [3]. Путать вращение вокруг оси и обращение по орбите нельзя. Год — это орбитальный период. Сутки — это период вращения относительно Солнца.

Спутники, кольца и малые тела

Планета сама служит гравитационным центром для своих спутников. У Земли один естественный спутник — Луна. Её среднее расстояние от Земли 384 000 км, звёздный период обращения 27,3 суток, средняя орбитальная скорость около 1,0 км/с [3]. Масса Луны составляет 0,0123 массы Земли, поэтому центр масс системы Земля — Луна лежит внутри Земли, примерно в 4700 км от её центра, но уже не в самом центре. Земля и Луна обращаются вокруг этой общей точки, а обе вместе — вокруг Солнца.

Классическая проверка Ньютона состоит в сравнении ускорений. Луна примерно в 60 раз дальше от центра Земли, чем поверхность. Ускорение свободного падения должно быть меньше поверхностного в 60² = 3600 раз: 9,8 / 3600 ≈ 0,0027 м/с². То же ускорение получается из орбиты. За период T ≈ 27,3 суток = 2,36 · 10⁶ с Луна проходит окружность радиуса r ≈ 3,84 · 10⁸ м. Центростремительное ускорение

a = 4π² · r / T² ≈ 0,0027 м/с².

Два пути дают один результат. Луна падает к Земле именно с тем ускорением, какое предсказывает закон обратных квадратов.

У Марса два спутника, у Юпитера по сводке NASA их 95, у Сатурна 274, у Урана 28, у Нептуна 16. У Меркурия и Венеры естественных спутников нет [3]. Число открытых спутников растёт по мере наблюдений, поэтому в справочнике оно привязано к дате обновления. Физический принцип от этого не меняется: каждый спутник движется в поле своей планеты, а возмущения от Солнца и соседних спутников делают реальный путь сложнее идеального эллипса.

Кольца Сатурна, Юпитера, Урана и Нептуна состоят из огромного числа отдельных глыб и пылинок. Каждая частица обращается вокруг планеты по своей орбите. Ближние частицы обгоняют дальние, потому что их круговая скорость больше. Кольцо в целом выглядит сплошным только из-за обилия частиц.

Между орбитами Марса и Юпитера находится пояс астероидов. Это тела небольшой массы на орбитах вокруг Солнца. За Нептуном расположена область ледяных тел, к которой принадлежит и Плутон. Кометы движутся по сильно вытянутым эллипсам. По второму закону Кеплера у Солнца у них вырастает хвост и резко увеличивается скорость, а на дальнем участке орбиты комета проводит основную часть периода. Когда комета или астероид проходит близко к большой планете, её притяжение меняет орбиту малого тела: период, наклон и эксцентриситет становятся другими. Так гравитационный центр системы остаётся Солнцем, но путь тела уже нельзя считать вечным неизменным эллипсом.

Искусственные спутники Земли

Те же формулы описывают аппараты, которые запускает человек. Чтобы спутник не задевал плотную атмосферу, его поднимают на высоту в сотни километров и разгоняют почти до первой космической скорости в горизонтальном направлении. Низкие орбиты имеют период около полутора часов. Спутник успевает за сутки много раз обойти Землю и годится для съёмки поверхности и для пилотируемых станций.

Особая орбита — геостационарная. Её период совпадает с периодом вращения Земли относительно звёзд, около 23 часов 56 минут, и лежит она в плоскости экватора. Спутник висит над одной и той же точкой экватора, потому что угловые скорости Земли и спутника совпадают. Высота такой орбиты около 36 000 км над поверхностью. Из формулы T = 2π √(r³ / (G · M)) при известном T получается радиус около 42 000 км от центра Земли, то есть примерно 36 000 км над поверхностью. На этой орбите удобно держать спутники связи и часть метеорологических аппаратов: антенну на Земле можно навести один раз.

Запуск с запада на восток выгоднее запуска в обратную сторону. Земля уже вращается с запада на восток, и у точки старта есть горизонтальная скорость до нескольких сотен метров в секунду. Её вычитают из тех 7,9 км/с, которые должна набрать ракета относительно центра Земли. Запуск к востоку экономит топливо. Полярные орбиты, проходящие над полюсами, выбирают тогда, когда нужно по очереди осмотреть всю поверхность планеты.

Спутник постепенно тормозится даже разреженным воздухом, если орбита низкая. Скорость от слабого торможения на круговой орбите ведёт себя не так, как у автомобиля. Потеря энергии переводит аппарат на более низкую орбиту, а на низкой орбите круговая скорость больше. Поэтому перед снижением спутник немного ускоряется по модулю, пока наконец не войдёт в плотные слои. Для расчёта срока жизни орбиты уже недостаточно одной формулы Ньютона: нужно сопротивление среды. Сам принцип остаётся прежним. Тяготение задаёт скорость, которая соответствует данному радиусу.

Глава 3. Движение Солнечной системы в Галактике

Млечный Путь и Галактика

В безлунную ночь вдали от городских огней небо пересекает слабая светлая полоса. Это Млечный Путь. Полоса состоит из огромного числа далёких звёзд, которые глаз не разделяет по отдельности. Сама наша звёздная система гораздо больше этой полосы. В неё входят звёзды всех созвездий. Полоса выглядит кольцом потому, что Солнечная система находится внутри плоского звёздного диска, близко к его средней плоскости, и мы смотрим вдоль слоя звёзд [5]. Туда, где слой толще и звёзд больше, небо светлее. Тёмные провалы в полосе создаёт космическая пыль: она закрывает свет более далёких звёзд. Ядро системы лежит в направлении созвездия Стрельца и с Земли почти полностью спрятано за пылевыми облаками [5].

Современные наблюдения различают в Галактике несколько частей. В самом центре находится сверхмассивная чёрная дыра, известная как радиоисточник Стрелец A*, с массой около четырёх миллионов масс Солнца. Её тяготение управляет движением ближайших звёзд. Дальше расположено вздутие из старых звёзд, балдж, и вытянутая перемычка, бар, из-за которой Млечный Путь относят к спиральным галактикам с перемычкой. Основная масса звёзд диска образует плоский слой со спиральными рукавами. Радиус звёздного диска оценивают примерно в 50 тысяч световых лет, а его толщина много меньше радиуса, порядка тысячи световых лет. Солнце лежит примерно в 26 тысячах световых лет от центра, то есть не на окраине и не в ядре, а в средней части диска [6].

По другим оценкам, поперечник всей системы около 120 тысяч световых лет, а число звёзд — порядка 400 миллиардов. На расстоянии Солнца полный оборот вокруг центра занимает около 225 миллионов лет, хотя Солнечная система движется со скоростью около 250 км/с. Солнце находится в небольшом Рукаве Ориона, между более крупными рукавами Стрельца и Персея. Диск окружён обширным гало. В гало мало светящихся звёзд, но по его притяжению видно, что масса там есть [7]. Разные научные группы приводят скорость от примерно 220 до 250 км/с и расстояние от примерно 26 до 28 тысяч световых лет. Для масштаба явления это один и тот же вывод: Солнце летит вокруг центра Галактики в десятки раз быстрее, чем Земля вокруг Солнца, и один оборот длится времена, сравнимые с эпохами истории Земли.

Галактический год

Период можно оценить так же, как период планеты, если принять орбиту близкой к окружности. Национальная радиоастрономическая обсерватория США принимает расстояние до центра около 8 килопарсек, то есть примерно 2,5 · 10¹⁷ км, и скорость около 220–225 км/с [8]. Длина окружности

L = 2πr ≈ 2 · 3,14 · 2,5 · 10¹⁷ ≈ 1,6 · 10¹⁸ км.

Время оборота

T = L / v ≈ 1,6 · 10¹⁸ / 220 ≈ 7 · 10¹⁵ с.

В году около 3,16 · 10⁷ секунд, поэтому

T ≈ 2,3 · 10⁸ лет,

то есть около 225–230 миллионов лет [8]. Этот промежуток называют галактическим годом. За время существования Солнечной системы, несколько миллиардов лет, Солнце вместе с планетами успело сделать порядка двадцати таких оборотов. Динозавры и современные материки появились уже на последних витках этого пути. Сам путь при этом плавный: за человеческую жизнь Солнце смещается по галактической орбите на ничтожную долю градуса, и по ночному небу этого оборота не заметить.

Скорость 220 км/с огромна по земным меркам. Земля вокруг Солнца движется со скоростью 29,8 км/с, то есть примерно в 7–8 раз медленнее. Зато радиус галактической орбиты больше радиуса земной примерно в 1,7 · 10⁸ раз: 2,5 · 10¹⁷ км против 1,5 · 10⁸ км. Период поэтому получается не в несколько раз больше года, а в сотни миллионов раз больше. Формула T = 2πr / v снова всё объясняет.

Орбита Солнца близка к окружности. Диск Галактики вращается не как твёрдое колесо. Близкие к центру звёзды завершают оборот быстрее и постепенно обгоняют Солнце, а более далёкие отстают. Такое вращение называют дифференциальным. Спиральный рукав — это область, где газ и молодые звёзды собраны плотнее. Звёзды проходят через рукава, продолжая своё обращение, и рукав сохраняется как волна плотности, а не как одна и та же компания звёзд, навсегда связанная друг с другом.

Центр Галактики и близкие звёзды

Пыль закрывает центр от оптических телескопов. В инфракрасном свете и в радиодиапазоне центр наблюдается с Земли, а в рентгеновских и гамма-лучах — из космоса. Самый плотный объект там — Стрелец A*. Звёзды в его ближайших окрестностях движутся по орбитам, которые хорошо описываются законами Кеплера. По размеру и периоду этих орбит получается масса центрального тела около четырёх миллионов масс Солнца [9]. Звёзды подходят к нему на расстояния в несколько световых суток [6]. Световые сутки — это путь света за 24 часа, около 170 астрономических единиц, то есть размеры, сравнимые с внешней частью Солнечной системы и больше неё. Для галактики это очень тесная окрестность центра.

Масса в четыре миллиона солнц, собранная в малой области, и есть основание называть объект сверхмассивной чёрной дырой. До горизонта чёрной дыры обычная звезда не доходит: мы видим орбиты светящихся звёзд и по ним взвешиваем невидимый центр. Приём тот же, каким по Луне когда-то проверяли тяготение Земли и каким по спутникам находят массы планет.

Для орбиты самого Солнца эта чёрная дыра почти ничего не решает. Скорость 220 км/с на радиусе 8 килопарсек требует, чтобы внутри орбиты была масса

M = v² · r / G.

Подстановка v = 2,2 · 10⁵ м/с, r ≈ 2,5 · 10²⁰ м и G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н · м² / кг² даёт массу порядка 10¹¹ масс Солнца, то есть около ста миллиардов солнечных масс. Четыре миллиона — это лишь несколько стотысячных долей такой массы. На нашем расстоянии Солнце удерживает на орбите совокупное тяготение всех звёзд, газа и невидимого вещества внутри орбиты. Чёрная дыра доминирует только во внутренней области, там, где её масса больше массы окружающих звёзд. В этом главное отличие галактического движения от планетного. В Солнечной системе почти вся масса и правда сидит в центре, в Солнце. В Галактике масса распределена по всему диску и гало, а центральная чёрная дыра — плотное, но по общей массе скромное ядро.

Кривая вращения и скрытая масса

Если бы почти вся масса Галактики находилась в балдже, дальше этого балджа скорость должна была бы убывать по закону планет: v пропорционально 1 / √r. Наблюдения устроены иначе. По многим спиральным галактикам скорость вращения остаётся примерно постоянной до расстояний 20–25 килопарсек, далеко за ярким звёздным диском. Кривые получают и по звёздам, и по радиоизлучению газа за оптической границей диска [10].

Из формулы M(r) = v² · r / G сразу следует вывод. Если v почти не меняется, масса внутри радиуса r растёт примерно пропорционально r. Светящееся вещество так не распределено: яркость диска к краю быстро падает. Значит, на периферии есть масса, которая почти не светится. Её называют скрытой массой, или тёмным гало [7], [10]. По движению звёзд видно, сколько массы находится внутри орбиты. По свету видно, сколько там звёзд и газа. Разница и указывает на невидимую составляющую.

Для 9 класса важно разделить, что именно измерено, а что пока объясняют по-разному. Измерены скорости и расстояния. Из них по закону тяготения получается масса. Природа невидимой массы остаётся предметом исследования: это могут быть неизвестные частицы, которые почти не взаимодействуют со светом, и обсуждаются также другие способы объяснить кривые вращения. Школьный вывод ограничен и твёрд. Обычных звёзд и газа недостаточно, чтобы при законе Ньютона получить плоскую кривую вращения. Движение звёзд вокруг центра Галактики служит весами для вещества, которого не видно.

От спутника до системы галактик

Один и тот же механизм повторяется на разных ступенях.

Луна и искусственные спутники обращаются вокруг Земли. Радиус орбиты Луны — сотни тысяч километров, скорость около 1 км/с, период около месяца. Центром служит Земля, потому что она намного массивнее Луны.

Планеты обращаются вокруг Солнца. Радиусы — от десятков миллионов до миллиардов километров, скорости — от примерно 5 до примерно 47 км/с, периоды — от 88 суток до 165 лет. Центр близок к Солнцу, потому что масса Солнца подавляет массы планет.

Звёзды диска, включая Солнце, обращаются вокруг центра масс Галактики. Радиус орбиты Солнца — десятки тысяч световых лет, скорость — около 220–250 км/с, период — около 225 миллионов лет. Центр определяется всей внутренней массой.

Сами галактики притягиваются друг к другу и собираются в группы и скопления. Млечный Путь входит в группу соседних галактик. Здесь уже нет одного тяжёлого шара в фокусе спокойного эллипса. Орбиты сложнее, системы могут сближаться и менять форму, но сила та же: взаимное тяготение масс.

Полезно сравнить три скорости, которые одновременно есть у человека, стоящего на Земле. Вместе с поверхностью Земли он участвует в суточном вращении: на экваторе это около 0,5 км/с. Вместе с Землёй он движется вокруг Солнца со скоростью 29,8 км/с. Вместе с Солнцем он движется вокруг центра Галактики со скоростью порядка 220 км/с. Мы этого не чувствуем, потому что скорость почти постоянна по величине и направлению на протяжении человеческой жизни, а перегрузка возникает при изменении скорости. Равномерное прямолинейное движение вообще неотличимо от покоя. Орбитальное движение близко к такому состоянию на коротком участке пути: за минуту направление скорости Земли меняется на ничтожный угол.

Единицы, без которых нельзя сравнивать масштабы

В планетных задачах удобна астрономическая единица, 149,6 млн км, и земной год. Внутри системы Земля — Луна удобны километры и сутки. В Галактике километр неудобен: числа занимают слишком много знаков. Световой год — расстояние, которое свет проходит за год в пустоте, около 9,5 · 10¹² км. Парсек ещё крупнее: 1 пк ≈ 3,26 светового года ≈ 3,09 · 10¹³ км, а килопарсек в тысячу раз больше. Расстояние 8 кпк и расстояние 26 тысяч световых лет говорят об одном и том же месте Солнца в диске. Когда в справочнике встречаются обе единицы, их переводят, а не считают разными ответами.

Массы в астрономии сравнивают с массой Солнца или Земли. Масса Солнца около 2 · 10³⁰ кг, то есть примерно в 330 000 раз больше массы Земли. Чёрная дыра в центре Галактики тяжелее Солнца примерно в 4 миллиона раз и всё же легче полной массы внутри солнечной орбиты в десятки тысяч раз. Такие сравнения защищают от ошибочной картины, в которой вся Галактика «крутится вокруг чёрной дыры» так же, как планеты крутятся вокруг Солнца.

Что в расчёте считают точным, а что оценивают

В таблице планет числа известны с высокой точностью, потому что орбиты наблюдают столетиями, а расстояния проверяют радиолокацией и полётами аппаратов. Для доклада достаточно трёх значащих цифр: они уже позволяют проверить третий закон Кеплера.

Для Галактики разброс оценок больше. Мы находимся внутри системы и не видим её снаружи целиком. Пыль закрывает дальнюю сторону диска. Скорость Солнца и расстояние до центра уточняют по радиоисточнику в центре, по скоплениям и по движениям миллионов звёзд. Поэтому в работе рядом стоят 220 и 250 км/с, 26 и 28 тысяч световых лет, 225 миллионов лет. Это граница сегодняшних измерений. Порядок величин от этого не рассыпается: галактический год остаётся сотнями миллионов земных лет при любом из этих наборов.

Закон тяготения Ньютона на этих масштабах работает замечательно, но и у него есть область, где его сменяет более общая теория. В сильном поле у горизонта чёрной дыры и при очень точном движении ближайших звёзд заметны поправки общей теории относительности. Для орбит планет, для Луны и для движения Солнца вокруг центра Галактики ньютоновской формулы 9 класса достаточно. Ею пользуются при расчёте спутников и при оценке галактической массы.

Заключение

Движение вокруг гравитационного центра возникает всегда, когда притяжение сообщает телу центростремительное ускорение, а скорость направлена поперёк радиуса. Закон всемирного тяготения задаёт и величину силы, и способ её ослабления с расстоянием. Из него следуют круговая скорость v = √(G · M / r), рост периода с радиусом и три закона Кеплера. Первая космическая скорость у Земли равна 7,9 км/с, вторая — 11,2 км/с. На орбите сохраняется тяжесть и исчезает вес, потому что опора падает вместе с телом.

Солнечная система — ближайший пример такой машины. Восемь планет обращаются вокруг Солнца в одну сторону по почти круговым и почти компланарным эллипсам. Меркурий проходит орбиту за 88 суток со скоростью 47,4 км/с, Земля — за 365,2 суток со скоростью 29,8 км/с, Нептун — примерно за 164 года со скоростью 5,4 км/с. Отношения периодов и расстояний согласуются с третьим законом Кеплера, потому что в центре одна и та же масса Солнца. Луна, кольца и искусственные спутники повторяют ту же схему вокруг планет. Геостационарная орбита показывает, как по заданному периоду находят радиус.

Солнечная система целиком участвует в большем обращении. Солнце расположено в диске спиральной галактики с перемычкой, в 26–28 тысячах световых лет от центра, и движется со скоростью около 220–250 км/с. Один оборот, галактический год, длится около 225 миллионов лет. В центре находится чёрная дыра Стрелец A* массой около четырёх миллионов масс Солнца. Она управляет ближайшими звёздами. Орбиту Солнца держит вся масса внутри радиуса, порядка ста миллиардов масс Солнца. Почти постоянная скорость звёзд на больших расстояниях означает, что эта масса продолжается и там, где светящегося вещества уже мало.

Так одна школьная формула связывает падение камня, полёт спутника, год Земли и путь Солнца среди звёзд Млечного Пути. Меняются только массы, радиусы и времена. Гравитационный центр может лежать внутри тяжёлого шара, между двумя сравнимыми телами или определяться распределённой массой целой галактики. Во всех этих случаях тело удерживается на орбите одной и той же силой всемирного тяготения.

Список источников

1. Перышкин А. В., Гутник Е. М. Физика. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. — Москва: Дрофа, 2009.
2. Newton's law of gravitation [Электронный ресурс]. URL: https://www.britannica.com/science/Newtons-law-of-gravitation (дата обращения: 20.10.2026).
3. Planetary Fact Sheet [Электронный ресурс]. URL: https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/ (дата обращения: 20.10.2026).
4. About the Planets [Электронный ресурс]. URL: https://science.nasa.gov/solar-system/planets/ (дата обращения: 20.10.2026).
5. Воронцов-Вельяминов Б. А. Астрономия: учебное пособие для 10 класса средней школы. — Москва: Просвещение, 1987.
6. Guide to our galaxy [Электронный ресурс]. URL: https://www.esa.int/Science_Exploration/Space_Science/Gaia/Guide_to_our_galaxy (дата обращения: 20.10.2026).
7. Galaxies and the Expanding Universe [Электронный ресурс]. URL: https://sci.esa.int/web/education/-/36827-galaxies-and-the-expanding-universe (дата обращения: 20.10.2026).
8. How Long Does it Take the Sun to Orbit the Center of our Galaxy? [Электронный ресурс]. URL: https://public.nrao.edu/ask/how-long-does-it-take-the-sun-to-orbit-the-center-of-our-galaxy/ (дата обращения: 20.10.2026).
9. Новости из центра Млечного Пути [Электронный ресурс]. URL: http://variable-stars.ru/db/msg/1197243 (дата обращения: 20.10.2026).
10. Скрытая масса [Электронный ресурс]. URL: https://www.astronet.ru/db/msg/1188662 (дата обращения: 20.10.2026).